Математическое моделирование

Лабораторная работа № 1

Абдуллахи Бахара

Российский университет дружбы народов

2026-02-13

Вводная часть

Цель работы

  • Освоить модель экспоненциального роста и её математическую формализацию
  • Найти аналитическое решение соответствующего дифференциального уравнения
  • Выполнить параметрическое исследование влияния коэффициента роста \(\alpha\)
  • Проанализировать:
    • характер изменения функции \(u(t)\)
    • зависимость времени удвоения \(T_2\)
    • особенности вычислительных затрат

Задание

  • Рассмотреть экспоненциальную модель роста как пример динамической системы
  • Проанализировать её математическое описание
  • Провести вычислительные эксперименты при различных значениях \(\alpha\)
  • Представить результаты в графическом виде

Теория: модель

Дифференциальное уравнение

Экспоненциальный процесс роста задаётся уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Где:

  • \(u\) — текущее значение исследуемой величины (например, численность, капитал и др.)
  • \(t\) — время
  • \(\alpha\) — коэффициент роста
    • \(\alpha>0\) — увеличение
    • \(\alpha<0\) — убывание

Решение и характеристики

Аналитическое решение:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Формула для времени удвоения:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Основные особенности:

  • увеличение \(\alpha\) приводит к более быстрому росту
  • время удвоения при этом сокращается

Эксперимент: базовый

Базовый эксперимент (α = 0.3)

  • Исследовано поведение функции \(u(t)\) на заданном промежутке времени
  • Наблюдается характерное ускоряющееся увеличение значений

Эксперимент: параметрическое исследование

Влияние α на рост

  • Проведены расчёты при значениях:
    • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
  • С увеличением \(\alpha\) скорость роста системы заметно возрастает

Время удвоения

Теоретическая зависимость имеет вид:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

  • Полученные численные данные согласуются с теоретическими оценками
  • При увеличении \(\alpha\) время удвоения сокращается

Время вычислений

  • Проанализирована связь между временем расчёта и значением \(\alpha\)
  • Существенных изменений не наблюдается

Итоги

Выводы

  • Проведённые вычислительные эксперименты подтвердили теоретические положения
  • При увеличении \(\alpha\):
    • процесс роста становится более стремительным
    • время удвоения уменьшается
    • вычислительные затраты изменяются незначительно