Цель работы

• Освоить модель экспоненциального роста и её математическую формализацию
  
• Найти аналитическое решение соответствующего дифференциального уравнения
  
• Выполнить параметрическое исследование влияния коэффициента роста \(\alpha\)
  
• Проанализировать:
  • характер изменения функции \(u(t)\)
  • зависимость времени удвоения \(T_2\)
  • особенности вычислительных затрат

Задание

• Рассмотреть экспоненциальную модель роста как пример динамической системы
  
• Проанализировать её математическое описание
  
• Провести вычислительные эксперименты при различных значениях \(\alpha\)
  
• Представить результаты в графическом виде

Дифференциальное уравнение

Экспоненциальный процесс роста задаётся уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Где:

• \(u\) — текущее значение исследуемой величины (например, численность, капитал и др.)
• \(t\) — время
• \(\alpha\) — коэффициент роста
  • \(\alpha>0\) — увеличение
    
  • \(\alpha<0\) — убывание

Решение и характеристики

Аналитическое решение:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Формула для времени удвоения:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Основные особенности:

• увеличение \(\alpha\) приводит к более быстрому росту
  
• время удвоения при этом сокращается

Базовый эксперимент (α = 0.3)

• Исследовано поведение функции \(u(t)\) на заданном промежутке времени
  
• Наблюдается характерное ускоряющееся увеличение значений

Влияние α на рост

• Проведены расчёты при значениях:
  • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
• С увеличением \(\alpha\) скорость роста системы заметно возрастает

Время удвоения

Теоретическая зависимость имеет вид:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

• Полученные численные данные согласуются с теоретическими оценками
  
• При увеличении \(\alpha\) время удвоения сокращается

Время вычислений

• Проанализирована связь между временем расчёта и значением \(\alpha\)
  
• Существенных изменений не наблюдается

Выводы

• Проведённые вычислительные эксперименты подтвердили теоретические положения
  
• При увеличении \(\alpha\):
  • процесс роста становится более стремительным
    
  • время удвоения уменьшается
    
  • вычислительные затраты изменяются незначительно